4. Найдите область определения функции: a) y = √x² - 14x + 13; б) y = 4/√3x-9x²

Найдем область определения функции.

а) $$y = \sqrt{x^2 - 14x + 13}$$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x^2 - 14x + 13 \ge 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 14x + 13 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 14$$

$$x_1 \cdot x_2 = 13$$

$$x_1 = 1$$

$$x_2 = 13$$

Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство больше или равно нуля вне корней.

$$x \in (-\infty; 1] \cup [13; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; 1] \cup [13; +\infty)$$

б) $$y = \frac{4}{\sqrt{3x - 9x^2}}$$.

Подкоренное выражение должно быть положительным (так как находится в знаменателе):

$$3x - 9x^2 > 0$$

$$3x(1 - 3x) > 0$$

$$3x(3x - 1) < 0$$

Корни: 0 и $$1/3$$.

Поскольку коэффициент при $$x^2$$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз. Неравенство больше нуля между корнями.

$$x \in (0; \frac{1}{3})$$.

Ответ: $$x \in (0; \frac{1}{3})$$