3. Решите квадратное неравенство: a) x²+10x+21<0; б) 4x²-11x-3≥0; в) x²-9≤ 0; г) 5x-x² ≤ 0.

Решим квадратные неравенства.

а) $$x^2 + 10x + 21 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + 10x + 21 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -10$$

$$x_1 \cdot x_2 = 21$$

$$x_1 = -3$$

$$x_2 = -7$$

Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство меньше нуля между корнями.

$$x \in (-7; -3)$$.

Ответ: $$x \in (-7; -3)$$

б) $$4x^2 - 11x - 3 \ge 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$4x^2 - 11x - 3 = 0$$

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$$

$$x_1 = \frac{11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$$

$$x_2 = \frac{11 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -0.25$$

Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство больше или равно нуля вне корней.

$$x \in (-\infty; -0.25] \cup [3; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; -0.25] \cup [3; +\infty)$$

в) $$x^2 - 9 \le 0$$

$$x^2 \le 9$$

$$-3 \le x \le 3$$

$$x \in [-3; 3]$$.

Ответ: $$x \in [-3; 3]$$

г) $$5x - x^2 \le 0$$

$$x(5 - x) \le 0$$

$$x(x - 5) \ge 0$$

Корни: 0 и 5.

Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство больше или равно нуля вне корней.

$$x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$$