Найдите область определения выражения \(\sqrt{\frac{x}{5}-\frac{x}{3}+2}+\sqrt{2x+\frac12}\).

Подкоренные выражения должны быть неотрицательны.

1. Для первого корня: \(\frac{x}{5}-\frac{x}{3}+2\ge0\), то есть \(2-\frac{2x}{15}\ge0\). Отсюда \(x\le15\).
2. Для второго корня: \(2x+\frac12\ge0\), поэтому \(x\ge-\frac14\).
3. Пересечение условий: \(x\in[-\frac14;15]\).

Ответ: \(\left[-\frac14;15\right]\).