3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки \(A_1\), \(B_1\), \(F_1\), E правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 9.

Определим, какую геометрическую фигуру представляет собой многогранник с вершинами \(A_1\), \(B_1\), \(F_1\), E. Это тетраэдр (четырехгранник). Основанием тетраэдра \(A_1B_1F_1E\) является треугольник \(A_1B_1F_1\), который можно рассматривать как половину шестиугольника \(A_1B_1C_1D_1E_1F_1\). Значит, площадь треугольника \(A_1B_1F_1\) равна половине площади шестиугольника, то есть 10/2 = 5. Высота тетраэдра, опущенная из вершины E на основание \(A_1B_1F_1\), равна высоте призмы, то есть 9. Объём тетраэдра вычисляется по формуле: $$V = \frac{1}{3} * S_{осн} * h$$, где \(S_{осн}\) – площадь основания, h – высота. Подставляем значения: $$V = \frac{1}{3} * 5 * 9 = \frac{45}{3} = 15$$. Ответ: 15