Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины А, B, C, D, A₁, B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого АВ =3, AD=9, AA₁= 4.

Объем параллелепипеда равен: $$V_{параллелепипеда} = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 3 \cdot 9 \cdot 4 = 108$$. Многогранник, вершинами которого являются вершины А, B, C, D, A₁, B₁ представляет собой четырехугольную призму, основанием которой является прямоугольник ABCD, а боковым ребром - AA₁ и BB₁. Объем этой призмы равен объему параллелепипеда.

$$V_{призмы}=S_{ABCD} \cdot AA_1=3\cdot9\cdot4=108$$

Четырехугольная призма состоит из двух треугольных призм $$A_1ABDC$$ и $$B_1BCDA$$.

Многогранник, заданный в условии, состоит из двух треугольных призм. Он составляет половину объема параллелепипеда.

Объём тетраэдра $$A_1ABC$$ равен $$1/3$$ объёма призмы $$AA_1B_1B$$, так как тетраэдр является третьей частью призмы. Объем тетраэдра равен $$V_{тетраэдра} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot AA_1$$

Искомый объем многогранника равен объему призмы минус объем тетраэдра $$V_{многогр} = V_{призмы} - V_{тетраэдра}= 108 - (1/3)3\cdot 9\cdot 4=108-36=72$$.

Ответ: 72