2. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой образует с плоскостью основания угол 60°, а сторона основания равна 8 см.

Для решения задачи нам понадобится формула объема пирамиды: ( V = \frac{1}{3} cdot S_{осн} cdot h ), где ( S_{осн} ) – площадь основания пирамиды, а ( h ) – ее высота. 1. Находим площадь основания (квадрата) Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. В нашем случае сторона квадрата равна 8 см. ( S_{осн} = 8^2 = 64 ) см(^2) 2. Находим высоту пирамиды Пусть ( l ) - боковое ребро, ( h ) - высота пирамиды, ( a ) - сторона основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Обозначим половину диагонали основания как ( d/2 ). Тогда ( d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} ), следовательно, ( d/2 = 4\sqrt{2} ). Используем тангенс угла 60°: ( \tan{60^{\circ}} = \frac{h}{d/2} ). ( h = (d/2) \cdot \tan{60^{\circ}} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6} ) см 3. Находим объем пирамиды Подставляем найденную площадь основания и высоту пирамиды в формулу объема: ( V = \frac{1}{3} cdot S_{осн} cdot h = \frac{1}{3} cdot 64 cdot 4\sqrt{6} = \frac{256\sqrt{6}}{3} ) см(^3) Ответ: Объем пирамиды равен ( \frac{256\sqrt{6}}{3} ) см(^3).