42. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно $$\sqrt{17}$$.

Для решения этой задачи нам понадобится найти высоту пирамиды. Обозначим сторону основания как $$a = 4$$, а боковое ребро как $$l = \sqrt{17}$$. 1. **Находим половину диагонали основания.** Т.к. в основании квадрат, то его диагональ равна $$d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$. Тогда половина диагонали равна $$d/2 = 2\sqrt{2}$$. 2. **Находим высоту пирамиды.** Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($$h$$), половиной диагонали основания ($$d/2$$) и боковым ребром ($$l$$). По теореме Пифагора: $$h^2 + (d/2)^2 = l^2$$ $$h^2 + (2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{17})^2$$ $$h^2 + 8 = 17$$ $$h^2 = 9$$ $$h = 3$$ 3. **Находим объем пирамиды.** Объем пирамиды равен $$V = \frac{1}{3}S_{осн}h$$, где $$S_{осн}$$ - площадь основания. Площадь основания равна $$S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$$. Тогда объем пирамиды равен: $$V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 3 = 16$$ Ответ: Объем пирамиды равен 16.