Найдите острый угол параллелограмма A B C D, если биссектриса угла А образует со стороной В С угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть \( \angle BAC = \alpha \). Тогда \( \angle B = 90^{\circ} \) (по условию, биссектриса угла А образует со стороной BC угол 15°, это возможно только если угол B прямой, а биссектриса делит его пополам, но это не так, биссектриса угла А образует угол 15° со стороной BC, поэтому это угол АВС).

Пусть \( AK \) — биссектриса \( \angle A \). \( \angle AKC = 15^{\circ} \).

Так как \( AK \) — биссектриса, то \( \angle BAK = \angle KAD = \frac{1}{2} \angle A \).

\( BC \parallel AD \).

\( \angle AKD = \angle KAD \) (как накрест лежащие при параллельных \( BC \parallel AD \) и секущей \( AK \)).

Значит, \( \angle AKD = \frac{1}{2} \angle A \).

\( \angle AKC = 180^{\circ} - \angle AKD = 180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A \).

По условию \( \angle AKC = 15^{\circ} \) (это если бы биссектриса угла А пересекала сторону CD). Но биссектриса угла А пересекает сторону BC.

Пусть \( AK \) — биссектриса \( \angle A \). \( \angle BKC = 15^{\circ} \).

\( AD \parallel BC \), \( AK \) — секущая. \( \angle DAK = \angle AKB \) (накрест лежащие).

\( \angle BKC \) и \( \angle AKB \) — смежные углы. \( \angle BKC + \angle AKB = 180^{\circ} \).

\( \angle AKB = 180^{\circ} - 15^{\circ} = 165^{\circ} \).

\( \angle DAK = 165^{\circ} \). Это неверно, так как \( \angle DAK \) — острый угол.

Перечитаем условие: «биссектриса угла А образует со стороной В С угол, равный 15°».

Пусть \( AK \) — биссектриса \( \angle A \). \( \angle AKB = 15^{\circ} \). \( AD \parallel BC \), \( AK \) — секущая.

\( \angle DAK = \angle AKB = 15^{\circ} \) (накрест лежащие).

Так как \( AK \) — биссектриса, \( \angle BAK = \angle DAK = 15^{\circ} \).

\( \angle A = \angle BAK + \angle DAK = 15^{\circ} + 15^{\circ} = 30^{\circ} \).

\( \angle A \) — острый угол параллелограмма.

Ответ: 30