4) Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 90°.

Пусть дан треугольник ABC, медиана BM, \(\angle ABM = 90^\circ\), \(\angle CBM = 30^\circ\). Пусть AM = MC = x. Продлим медиану BM на расстояние MD = BM. Получим параллелограмм ABCD, так как диагонали BD и AC в точке M делятся пополам. Тогда AB = CD и BC = AD. Угол \(\angle ABD = 90^\circ\), а угол \(\angle DBC = 30^\circ\). Значит, \(\angle ABC = 120^\circ\), а \(\angle BDC = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ\). В треугольнике BDC: \(\angle BDC = 120^\circ\), \(\angle DBC = 30^\circ\), следовательно, \(\angle BCD = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ\). Значит, треугольник BDC - равнобедренный, BD = CD. Тогда 2BM = AB. Треугольник ABM - прямоугольный, \(\angle ABM = 90^\circ\), AM = x, AB = 2BM. Тогда \(BM = x \cdot \tan(30^\circ) = \frac{x}{\sqrt{3}}\) и \(AB = 2 \cdot BM = \frac{2x}{\sqrt{3}}\) . AD = BC. Найдем AD = BC из теоремы косинусов для треугольника ADC: \(AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle ACD)\) \(AD^2 = (2x)^2 + (\frac{2x}{\sqrt{3}})^2 - 2 \cdot 2x \cdot \frac{2x}{\sqrt{3}} \cdot \cos(30^\circ)\) \(AD^2 = 4x^2 + \frac{4x^2}{3} - \frac{8x^2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\) \(AD^2 = 4x^2 + \frac{4x^2}{3} - 4x^2 = \frac{4x^2}{3}\) \(AD = \frac{2x}{\sqrt{3}}\) Значит, \(BC = \frac{2x}{\sqrt{3}}\) . Тогда, \(\frac{AB}{BC} = \frac{\frac{2x}{\sqrt{3}}}{\frac{2x}{\sqrt{3}}} = 1\). Ответ: 1