5. Найдите отрезки CD и DB (рис. 102).

Для решения задачи необходимо знать, какие элементы известны на рисунке 102. Предположим, что известны углы α и β, а также сторона a (AB).

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABD. В нем tg α = BD/AD, следовательно, AD = BD/tg α.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔCBD. В нем tg β = CD/BD, следовательно, CD = BD ∙ tg β.

3) Рассмотрим треугольник ΔABC. В нем AB = a, AC = AD + DC. AC = BD/tg α + BD ∙ tg β = BD ∙ (1/tg α + tg β).

4) Выразим BD. По теореме синусов для треугольника ΔABC:

$$\frac{a}{\sin \beta} = \frac{AC}{\sin (180° - \alpha - \beta)} = \frac{AC}{\sin (\alpha + \beta)}$$

$$\frac{a}{\sin \beta} = \frac{BD \cdot (\frac{1}{\text{tg } \alpha} + \text{tg } \beta)}{\sin (\alpha + \beta)}$$

$$BD = \frac{a \cdot \sin (\alpha + \beta)}{\sin \beta \cdot (\frac{1}{\text{tg } \alpha} + \text{tg } \beta)}$$

$$BD = \frac{a \cdot \sin (\alpha + \beta)}{\sin \beta \cdot (\text{ctg } \alpha + \text{tg } \beta)}$$

Зная BD, можно найти CD = BD ∙ tg β.

Ответ: Для того чтобы найти длины отрезков CD и DB, необходимо знать длины сторон или значения углов. Приведены формулы для решения.