Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если диагональное сечение пирамиды - прямоугольный треугольник, площадь которого равна 32 см².

Пусть сторона квадрата в основании равна a, а высота пирамиды равна h. Поскольку диагональное сечение является прямоугольным треугольником, то высота пирамиды равна половине диагонали основания. Диагональ квадрата ( d = asqrt{2} ). Тогда ( h = rac{asqrt{2}}{2} ). Площадь диагонального сечения ( S = rac{1}{2} cdot d cdot h = rac{1}{2} cdot asqrt{2} cdot rac{asqrt{2}}{2} = rac{a^2}{2} ). По условию ( S = 32 ), значит, ( rac{a^2}{2} = 32 ), откуда ( a^2 = 64 ), следовательно, ( a = 8 ) см. Теперь найдем апофему (высоту боковой грани) пирамиды. Обозначим апофему как l. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и высотой пирамиды. По теореме Пифагора, ( l^2 = h^2 + (rac{a}{2})^2 ). ( h = rac{asqrt{2}}{2} = rac{8sqrt{2}}{2} = 4sqrt{2} ). ( l^2 = (4sqrt{2})^2 + (rac{8}{2})^2 = 32 + 16 = 48 ). ( l = sqrt{48} = 4sqrt{3} ) см. Площадь боковой поверхности пирамиды ( S_{бок} = rac{1}{2} cdot P cdot l ), где P - периметр основания. ( P = 4a = 4 cdot 8 = 32 ) см. ( S_{бок} = rac{1}{2} cdot 32 cdot 4sqrt{3} = 16 cdot 4sqrt{3} = 64sqrt{3} ) см². Ответ: 64√3 см²