1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна $$5\sqrt{3}$$ см.

Для начала найдем радиус окружности. Если в окружность вписан правильный треугольник со стороной $$a$$, то радиус окружности можно найти по формуле $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$. В нашем случае $$a = 5\sqrt{3}$$ см, поэтому радиус окружности равен: $$R = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5$$ см. Теперь найдем площадь круга и длину окружности. Площадь круга вычисляется по формуле $$S = \pi R^2$$. Подставляя $$R = 5$$ см, получаем: $$S = \pi (5^2) = 25\pi$$ см$$^2$$. Длина окружности вычисляется по формуле $$C = 2\pi R$$. Подставляя $$R = 5$$ см, получаем: $$C = 2\pi (5) = 10\pi$$ см. Ответ: Площадь круга равна $$25\pi$$ см$$^2$$, длина окружности равна $$10\pi$$ см.