3. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен $$6\sqrt{3}$$ см. Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности.

Для начала найдем сторону правильного треугольника, вписанного в окружность. Периметр треугольника равен $$6\sqrt{3}$$ см, значит, его сторона равна: $$a = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$ см. Теперь найдем радиус окружности. Как мы знаем из первой задачи, радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $$a$$, равен $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$. Подставляя $$a = 2\sqrt{3}$$ см, получаем: $$R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$$ см. Теперь найдем сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности. Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности радиуса $$R$$, равна $$a_6 = \frac{2R}{\sqrt{3}}$$. Подставляя $$R = 2$$ см, получаем: $$a_6 = \frac{2(2)}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$ см. Теперь найдем периметр этого шестиугольника. Периметр шестиугольника равен: $$P = 6a_6 = 6\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$ см. Ответ: Периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности, равен $$8\sqrt{3}$$ см.