2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4 см, если её градусная мера равна $$120^{\circ}$$. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?

Для начала найдем длину дуги окружности. Длина дуги $$l$$ с радиусом $$R$$ и градусной мерой $$\alpha$$ вычисляется по формуле: $$l = \frac{\pi R \alpha}{180}$$. В нашем случае $$R = 4$$ см и $$\alpha = 120^{\circ}$$, поэтому длина дуги равна: $$l = \frac{\pi (4) (120)}{180} = \frac{480\pi}{180} = \frac{8\pi}{3}$$ см. Теперь найдем площадь кругового сектора. Площадь кругового сектора $$S$$ с радиусом $$R$$ и градусной мерой $$\alpha$$ вычисляется по формуле: $$S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$$. В нашем случае $$R = 4$$ см и $$\alpha = 120^{\circ}$$, поэтому площадь сектора равна: $$S = \frac{\pi (4^2) (120)}{360} = \frac{\pi (16) (120)}{360} = \frac{1920\pi}{360} = \frac{16\pi}{3}$$ см$$^2$$. Ответ: Длина дуги окружности равна $$\frac{8\pi}{3}$$ см, площадь кругового сектора равна $$\frac{16\pi}{3}$$ см$$^2$$.