1117 Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом а; в) в рав- нобедренный треугольник с боковой стороной а и углом а, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с большим основанием а и острым углом а.

Ответ: смотри решение ниже

1. а) Равносторонний треугольник со стороной a.

   Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник:

   \[R = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]

   Площадь круга:

   \[S = \pi R^2 = \pi (\frac{a}{2\sqrt{3}})^2 = \frac{\pi a^2}{12}\]

2. б) Прямоугольный треугольник с катетом a и прилежащим углом α.

   Второй катет b можно найти, используя тангенс угла α:

   \[\tan(\alpha) = \frac{b}{a} \Rightarrow b = a \tan(\alpha)\]

   Гипотенуза c:

   \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + (a \tan(\alpha))^2} = a\sqrt{1 + \tan^2(\alpha)}\]

   Радиус вписанной окружности:

   \[R = \frac{a + b - c}{2} = \frac{a + a \tan(\alpha) - a\sqrt{1 + \tan^2(\alpha)}}{2} = \frac{a(1 + \tan(\alpha) - \sqrt{1 + \tan^2(\alpha)})}{2}\]

   Площадь круга:

   \[S = \pi R^2 = \pi (\frac{a(1 + \tan(\alpha) - \sqrt{1 + \tan^2(\alpha)})}{2})^2 = \frac{\pi a^2 (1 + \tan(\alpha) - \sqrt{1 + \tan^2(\alpha)})^2}{4}\]

3. в) Равнобедренный треугольник с боковой стороной a и углом α, противолежащим основанию.

   Основание b можно найти, используя теорему синусов:

   \[\frac{b}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{\sin(\frac{180 - \alpha}{2})} \Rightarrow b = \frac{a \sin(\alpha)}{\sin(\frac{180 - \alpha}{2})}\]

   Радиус вписанной окружности:

   \[R = \frac{2S}{a+b+c}\]

   Где S - площадь треугольника, которую можно найти как:

   \[S = \frac{1}{2} a^2 \sin(\frac{180 - \alpha}{2})\]

   Тогда радиус вписанной окружности:

   \[R = \frac{a^2 \sin(\frac{180 - \alpha}{2})}{2a + \frac{a \sin(\alpha)}{\sin(\frac{180 - \alpha}{2})}}\]

   Площадь круга:

   \[S = \pi R^2 = \pi (\frac{a^2 \sin(\frac{180 - \alpha}{2})}{2a + \frac{a \sin(\alpha)}{\sin(\frac{180 - \alpha}{2})}})^2\]

4. г) Равнобедренная трапеция с большим основанием a и острым углом α.

   В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон.

   Пусть меньшее основание равно b, а боковая сторона c. Тогда:

   \[a + b = 2c\]

   Высота трапеции h:

   \[h = c \sin(\alpha)\]

   Разница между основаниями:

   \[a - b = 2c \cos(\alpha)\]

   Тогда:

   \[a + b = 2c\] \[a - b = 2c \cos(\alpha)\]

   Сложим эти два уравнения:

   \[2a = 2c(1 + \cos(\alpha))\] \[c = \frac{a}{1 + \cos(\alpha)}\]

   Тогда высота:

   \[h = c \sin(\alpha) = \frac{a \sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}\]

   Радиус вписанной окружности:

   \[R = \frac{h}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2(1 + \cos(\alpha))}\]

   Площадь круга:

   \[S = \pi R^2 = \pi (\frac{a \sin(\alpha)}{2(1 + \cos(\alpha))})^2 = \frac{\pi a^2 \sin^2(\alpha)}{4(1 + \cos(\alpha))^2}\]

Ответ: смотри решение выше