706. Найдите площадь параллелограмма, диагонали которого равны 26 см и 24 см, а одна из них перпендикулярна стороне параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм ABCD, диагонали которого AC = 26 см, BD = 24 см, диагональ AC перпендикулярна стороне CD.

Треугольник ACD - прямоугольный, где AC = 26 см. Высота DE, проведенная к стороне AC, является высотой параллелограмма, проведенной к стороне AC. Площадь параллелограмма ABCD равна $$S = AC \cdot DE$$.

В прямоугольном треугольнике AC = 26 см. Обозначим CE = x, тогда AE = 26 - x. $$CD^2 = DE^2 + CE^2$$. $$AD^2 = DE^2 + AE^2$$.

Треугольники BCE и ADE равны, так как BD диагональ. $$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ADC} = AC \cdot DE$$

Известно, что диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому AO = OC = 13 см, BO = OD = 12 см. Кроме того, CD = AO = OC = 13 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDE. По теореме Пифагора, $$CD^2 = CE^2 + DE^2$$. $$13^2 = x^2 + DE^2$$. Отсюда $$DE^2 = 169 - x^2$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADE. По теореме Пифагора, $$AD^2 = AE^2 + DE^2$$. $$AD^2 = (26-x)^2 + DE^2 = (26 - x)^2 + 169 - x^2 = 676 - 52x + x^2 + 169 - x^2 = 845 - 52x$$.

В прямоугольном треугольнике BOD, по теореме Пифагора, $$BD^2 = DE^2 + BE^2$$. Отсюда $$BE^2 = BD^2 - DE^2 = 24^2 - DE^2 = 576 - 169 + x^2 = 407 + x^2$$. $$AD^2 = 407 + x^2$$.

Следовательно, $$407 + x^2 = 845 - 52x$$. $$x^2 + 52x - 438 = 0$$.

Решим квадратное уравнение. $$D = 52^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-438) = 2704 + 1752 = 4456$$. $$x_1 = \frac{-52 + \sqrt{4456}}{2} \approx 7.04$$. $$x_2 = \frac{-52 - \sqrt{4456}}{2} \approx -59.04$$.

Так как CE = x, то $$DE = \sqrt{169 - 7.04^2} = 12.51$$.

Площадь параллелограмма $$S = AC \cdot DE = 26 \cdot 12.51 \approx 325.26$$

Ответ: 325,26 см².