Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если: а) боковая сторона равна в; б) основание равно а.

1. Случай а: боковая сторона равна b

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны α. Значит, угол при вершине равен π - 2α.

Площадь треугольника можно выразить как половину произведения двух сторон на синус угла между ними: \[S = \frac{1}{2} b \cdot b \cdot sin(\pi - 2\alpha)\]

Поскольку sin(π - 2α) = sin(2α) = 2sinαcosα, то \[S = \frac{1}{2} b^2 \cdot 2 sin\alpha cos\alpha = b^2 sin\alpha cos\alpha\]

2. Случай б: основание равно a

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой, и биссектрисой.

Пусть h - высота, проведенная к основанию a. Тогда tgα = h / (a/2), откуда h = (a/2) * tgα.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \[S = \frac{1}{2} a \cdot h = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a}{2} tg\alpha = \frac{a^2}{4} tg\alpha\]