Найдите площадь равнобокой трапеции МКРТ, если дли- на её высоты ТН равна 7, а точка Н разбивает большее основание РК трапеции на отрезки, длина большего из которых равна 8 (рис. 6).

Пусть дана равнобокая трапеция $$MKPT$$. Проведена высота $$TH$$, причем $$TH = 7$$. Точка $$H$$ разбивает большее основание $$PK$$ на отрезки, длина большего из которых равна 8.

Рассмотрим два случая:

1) $$PH > HK$$ и $$PH = 8$$.

В равнобокой трапеции высоты, проведенные из вершин меньшего основания, отсекают от большего основания равные отрезки. Тогда $$HK = PK - PH = PK - 8$$. $$MK = PH - HK = 8 - (PK - 8) = 16 - PK$$. Из прямоугольного треугольника $$THK$$ можно выразить катет $$HK$$: $$HK = TH = 7$$.Тогда $$PK = PH + HK = 8 + 7 = 15$$ и $$MK = 16 - 15 = 1$$. Площадь трапеции равна:

$$S = \frac{MK + PK}{2} \cdot TH = \frac{1 + 15}{2} \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56$$.

2) $$HK > PH$$ и $$HK = 8$$.

Тогда $$PH = PK - HK = PK - 8$$. $$MK = HK - PH = 8 - (PK - 8) = 16 - PK$$. $$PH = TH = 7$$. Тогда $$PK = PH + HK = 7 + 8 = 15$$ и $$MK = 16 - 15 = 1$$. Площадь трапеции равна:

$$S = \frac{MK + PK}{2} \cdot TH = \frac{1 + 15}{2} \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56$$.

Ответ: 56