1183 Найдите площадь S правильного п-угольника, если: а) п = 4, R = 3√2 см; б) n = 3, P=24 см; в) п=6, r=9 см; г) п=8, r = 5√3 см.

а) n = 4, R = 3√2 см

Правильный 4-угольник - это квадрат. Площадь квадрата можно найти, зная радиус описанной окружности:

$$S = 2R^2$$

Подставим значение R:

$$S = 2 \cdot (3\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 9 \cdot 2 = 36 \text{ см}^2$$

б) n = 3, P = 24 см

Правильный 3-угольник - это равносторонний треугольник. Найдем сторону треугольника:

$$a = P \div 3 = 24 \div 3 = 8 \text{ см}$$

Площадь равностороннего треугольника:

$$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2$$

в) n = 6, r = 9 см

Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:

$$S = 2\sqrt{3} \cdot r^2$$

Подставим значение r:

$$S = 2\sqrt{3} \cdot 9^2 = 2\sqrt{3} \cdot 81 = 162\sqrt{3} \text{ см}^2$$

г) n = 8, r = 5√3 см

Площадь правильного восьмиугольника можно найти по формуле:

$$S = 2na^2(1 + \sqrt{2})$$

где a - сторона восьмиугольника, n - количество сторон (n=8)

Связь между стороной и радиусом вписанной окружности:

$$r = \frac{a}{2} \cdot ctg(\frac{\pi}{n})$$

Выразим сторону a через радиус r:

$$a = 2r \cdot tg(\frac{\pi}{n})$$ $$a = 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot tg(\frac{\pi}{8}) = 10\sqrt{3} \cdot tg(22.5^\circ)$$

Тангенс 22.5 градусов равен:

$$tg(22.5^\circ) = \sqrt{2} - 1$$

Тогда сторона a:

$$a = 10\sqrt{3} \cdot (\sqrt{2} - 1)$$

Подставим в формулу площади восьмиугольника:

$$S = 2na^2(1 + \sqrt{2})$$ $$S = 2 \cdot 8 \cdot (10\sqrt{3} \cdot (\sqrt{2} - 1))^2 \cdot (1 + \sqrt{2}) = 16 \cdot 100 \cdot 3 \cdot (2 - 2\sqrt{2} + 1) \cdot (1 + \sqrt{2}) = 4800 \cdot (3 - 2\sqrt{2}) \cdot (1 + \sqrt{2}) = 4800 \cdot (3 + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 4) = 4800 \cdot (\sqrt{2} - 1)$$ $$S = 4800(\sqrt{2} - 1) \approx 1987.2 \text{ см}^2$$

Ответ: а) 36 см², б) $$16\sqrt{3}$$ см², в) $$162\sqrt{3}$$ см², г) $$4800(\sqrt{2} - 1)$$ см²