1182 Около правильного треугольника описана окружность радиу- са R. Докажите, что R=2r, где г- радиус окружности, впи- санной в этот треугольник.

Пусть дан правильный треугольник ABC, описанный около окружности радиуса r, и около этого же треугольника описана окружность радиуса R. Пусть O - центр обеих окружностей (центр правильного треугольника является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот).

1) Рассмотрим радиус r вписанной окружности. Он перпендикулярен стороне треугольника и является отрезком OD, где D - точка касания окружности и стороны AC.

2) Рассмотрим радиус R описанной окружности. Он соединяет центр O с вершиной A треугольника (отрезок AO).

3) В правильном треугольнике медиана является биссектрисой и высотой. Точка O делит медиану AD в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, AO = 2OD, то есть R = 2r.

Ответ: R = 2r