93 Найдите площадь трапеции АBCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C=∠D= = 60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C = ∠D=45°, АВ = 6 см, ВС = 9√2 см.

• а) Дано: ABCD - трапеция, AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см.

Проведем высоты BH и AK. HK = AB = 10 см. CH = KD = (CD - HK)/2 = (20 - 10)/2 = 5 см.

Рассмотрим треугольник BCH - прямоугольный. По теореме Пифагора BH = √(BC² - CH²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = ((AB + CD)/2) * BH = ((10 + 20)/2) * 12 = 15 * 12 = 180 см².

• б) Дано: ABCD - трапеция, ∠C = ∠D = 60°, AB = BC = 8 см.

Проведем высоту BH. Рассмотрим треугольник BCH - прямоугольный. ∠BCH = 60°, следовательно, ∠CBH = 30°. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. CH = 1/2 BC = 1/2 * 8 = 4 см.

По теореме Пифагора BH = √(BC² - CH²) = √(8² - 4²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3 см.

Так как трапеция равнобедренная, CH = KD = 4 см.

CD = AB + 2 * CH = 8 + 2 * 4 = 16 см.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = ((AB + CD)/2) * BH = ((8 + 16)/2) * 4√3 = 12 * 4√3 = 48√3 см².

• в) Дано: ABCD - трапеция, ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, BC = 9√2 см.

Проведем высоту BH. Рассмотрим треугольник BCH - прямоугольный. ∠BCH = 45°, следовательно, ∠CBH = 45°, значит треугольник равнобедренный, BH = CH.

По теореме Пифагора BC² = BH² + CH²

BC² = 2 * BH²

BH = √(BC²/2) = √((9√2)²/2) = √(162/2) = √81 = 9 см.

Так как трапеция равнобедренная, CH = KD = 9 см.

CD = AB + 2 * CH = 6 + 2 * 9 = 24 см.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = ((AB + CD)/2) * BH = ((6 + 24)/2) * 9 = 15 * 9 = 135 см².

Ответ: а) 180 см², б) $$48\sqrt{3}$$ см², в) 135 см².