1109 Найдите площадь треугольника АВС, если: а) АВ = 6\sqrt{3} см. AC = 4 см, ∠A=60°; б) BC=3см, АВ=18\sqrt{2} см, ∠B=45°; в) АС = 14 см, СВ = 7 см, ∠C=48°.

а)

Для нахождения площади треугольника АВС воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sinA$$

1. Подставим известные значения в формулу: $$S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 4 \cdot sin60°$$
2. $$sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
3. $$S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{3}{2} = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18 \text{ см}^2$$

Ответ: 18 см²

б)

Для нахождения площади треугольника АВС воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sinB$$

1. Подставим известные значения в формулу: $$S = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{2} \cdot 3 \cdot sin45°$$
2. $$sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
3. $$S = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3 \cdot \frac{2}{2} = 9 \cdot 3 = 27 \text{ см}^2$$

Ответ: 27 см²

в)

Для нахождения площади треугольника АВС воспользуемся формулой Герона, предварительно найдя полупериметр:

1. Найдем полупериметр: $$p = \frac{AC + CB + AB}{2}$$

   Для нахождения площади нам не хватает длины стороны AB. Воспользуемся теоремой косинусов, чтобы найти сторону AB:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cosC$$ $$AB^2 = 14^2 + 7^2 - 2 \cdot 14 \cdot 7 \cdot cos48°$$ $$AB^2 = 196 + 49 - 196 \cdot cos48°$$ $$AB^2 = 245 - 196 \cdot 0.6691$$ $$AB^2 = 245 - 131.1436 \approx 113.86$$ $$AB = \sqrt{113.86} \approx 10.67 \text{ см}$$
2. Теперь найдем полупериметр: $$p = \frac{14 + 7 + 10.67}{2} = \frac{31.67}{2} = 15.835 \text{ см}$$
3. Воспользуемся формулой Герона: $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$ $$S = \sqrt{15.835(15.835 - 14)(15.835 - 7)(15.835 - 10.67)}$$ $$S = \sqrt{15.835 \cdot 1.835 \cdot 8.835 \cdot 5.165}$$ $$S = \sqrt{1314.52} \approx 36.26 \text{ см}^2$$

Ответ: ≈ 36.26 см²