1024 Найдите площадь треугольника АВС, если: a) ∠A = α, а высоты, проведённые из вершин В и С, соответ ственно равны по и п 6) ∠A =α, ∠B=В, а высота, проведённая из вершины В, рав на п.

a) ∠A = α, а высоты, проведённые из вершин В и С, соответственно равны hb и hc.

Пусть стороны, на которые опущены высоты hb и hc, равны b и c соответственно. Тогда:

$$S = \frac{1}{2} b h_b$$

$$S = \frac{1}{2} c h_c$$

Выразим b и c через известные величины:

$$b = \frac{2S}{h_b}$$, $$c = \frac{2S}{h_c}$$

Теперь, используя формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$$S = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} \frac{2S}{h_b} \frac{2S}{h_c} \sin α$$

$$S = \frac{2S^2}{h_b h_c} \sin α$$

Разделим обе части на S (предполагая, что S ≠ 0):

$$1 = \frac{2S}{h_b h_c} \sin α$$

Выразим S:

$$S = \frac{h_b h_c}{2 \sin α}$$

Ответ: $$S = \frac{h_b h_c}{2 \sin α}$$

б) ∠A = α, ∠B=β, а высота, проведённая из вершины В, равна h.

Площадь треугольника можно выразить как $$S = \frac{1}{2}ac \sin{B}$$.

Пусть $$h$$ — высота, проведенная из вершины $$B$$ к стороне $$AC$$. Тогда $$h = a \sin{C}$$, где $$a$$ — сторона, а $$C$$ — угол напротив нее.

Выразим $$a$$ через высоту $$h$$ и угол $$C$$: $$a = \frac{h}{\sin{C}}$$.

Угол $$C$$ можно найти, зная углы $$A$$ и $$B$$: $$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - α - β$$.

Тогда: $$a = \frac{h}{\sin{(180^\circ - α - β)}} = \frac{h}{\sin{(α + β)}}$$.

Площадь треугольника также можно выразить как $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h$$. Длину стороны $$AC$$ можно найти, используя теорему синусов. Имеем: $$\frac{a}{\sin α} = \frac{AC}{\sin β}$$, откуда $$AC = \frac{a \sin β}{\sin α} = \frac{h \sin β}{\sin α \sin (α + β)}$$.

Теперь можем выразить площадь треугольника как:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{h \sin β}{\sin α \sin (α + β)} \cdot h = \frac{h^2 \sin β}{2 \sin α \sin (α + β)}$$

Ответ: $$S = \frac{h^2 \sin β}{2 \sin α \sin (α + β)}$$