Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

Треугольник изображен на клетчатой бумаге. Размер каждой клетки 1 см × 1 см. Площадь одной клетки равна \( 1 \text{ см}^2 \).

Для нахождения площади закрашенного треугольника можно использовать метод разбиения на простые фигуры или метод вычитания площадей.

Способ 1: Метод разбиения.

Рассмотрим треугольник. Его можно вписать в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат.

Вершины треугольника находятся в точках (примем левый нижний угол сетки за (0,0)):

• Левая нижняя вершина: (1, 0)
• Верхняя вершина: (3, 4)
• Правая нижняя вершина: (5, 0)

Этот треугольник не является прямоугольным. Его основание лежит на оси x и имеет длину \( 5 - 1 = 4 \) см.

Высота треугольника, опущенная из верхней вершины на основание, равна 4 см.

Площадь треугольника находится по формуле: \( S = \frac{1}{2} × \text{основание} × \text{высота} \).

\( S = \frac{1}{2} × 4 \text{ см} × 4 \text{ см} = \frac{1}{2} × 16 \text{ см}^2 = 8 \text{ см}^2 \).

Способ 2: Метод вычитания площадей (используя прямоугольник).

Опишем вокруг треугольника прямоугольник. Минимальные координаты: \( x_{min}=1, y_{min}=0 \). Максимальные координаты: \( x_{max}=5, y_{max}=4 \).

Прямоугольник имеет вершины в точках (1,0), (5,0), (5,4), (1,4). Его площадь равна \( (5-1) \times (4-0) = 4 × 4 = 16 \) см².

Площадь закрашенного треугольника можно найти, вычитая площади трех прямоугольных треугольников, которые находятся вне закрашенного треугольника, но внутри описанного прямоугольника.

Однако, в нашем случае, основание треугольника лежит на нижней границе прямоугольника, и только две вершины находятся на верхней границе. Проще использовать формулу площади треугольника.

Проверка по клеткам:

Можно посчитать количество полных и неполных клеток, которые занимает треугольник.

Легче всего использовать формулу площади треугольника, так как основание и высота легко определяются по сетке.

Основание треугольника занимает 4 полные клетки по горизонтали. Высота треугольника составляет 4 клетки по вертикали.

\( S = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8 \) см².

Ответ: 8