Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях вне зависимости от того, какие машины нуждаются в замене фильтра, а какие — в замене колодок.

Решение:

У нас есть 30 машин. Из них:

• 5 машин требуют замены тормозных колодок.
• 10 машин требуют замены воздушного фильтра.
• При этом, колодки и фильтр требуют замены независимо друг от друга.

Разберем каждое утверждение:

1. Найдётся 6 машин, в которых нужно поменять и колодки, и фильтр.
   У нас 5 машин с заменой колодок и 10 с заменой фильтра. Максимальное число машин, где нужно менять И то, и другое, будет наименьшим из этих двух чисел, то есть 5. Случай, когда 6 машин требуют и того, и другого, невозможен. Утверждение неверно.
2. Найдётся 9 машин, в которых не нужно менять ни колодки, ни фильтр.
   Общее количество машин = 30.
   Машин, которым нужна замена колодок = 5.
   Машин, которым нужна замена фильтра = 10.
   Пусть \( K \) — множество машин с заменой колодок, \( F \) — множество машин с заменой фильтра.
   \(|K| = 5\), \(|F| = 10\).
   Нас интересует \( |\overline{K \cup F}| \), то есть машин, которые не входят ни в \( K \), ни в \( F \).
   \(|K \cup F| = |K| + |F| - |K \cap F|\).
   Минимальное число машин, требующих замены (когда \( K \cap F = \emptyset \), т.е. нет пересечения) = \( 5 + 10 = 15 \).
   Максимальное число машин, требующих замены (когда \( K \subset F \) или \( F \subset K \), но здесь \( 5 < 10 \), значит \( K \subset F \)) = \( 10 \).
   Если \( |K \cap F| = 0 \), то \( |K \cup F| = 15 \). Машин, которым ничего не нужно менять: \( 30 - 15 = 15 \).
   Если \( |K \cap F| = 5 \) (все 5 машин с заменой колодок также нуждаются в замене фильтра), то \( |K \cup F| = 5 + 10 - 5 = 10 \). Машин, которым ничего не нужно менять: \( 30 - 10 = 20 \).
   В любом случае, количество машин, которым не нужно менять ни колодки, ни фильтр, находится в диапазоне от 15 до 20. Утверждение, что их найдётся 9, неверно.
3. Не найдётся 7 машин, в которых нужно менять и колодки, и фильтр.
   Как мы уже выяснили, максимальное число машин, где нужно менять и колодки, и фильтр, равно \( \min(5, 10) = 5 \). Так как 5 < 7, то утверждение «не найдётся 7 машин, в которых нужно менять и колодки, и фильтр» верно.
4. Если в машине нужно менять колодки, то фильтр тоже нужно менять.
   Это означает, что множество машин, требующих замены колодок, является подмножеством множества машин, требующих замены фильтра (\( K \subset F \)). Но условие гласит, что замена колодок и фильтра происходят независимо. Это не обязательно так. Может быть так, что 5 машин требуют замены колодок, а другие 10 — фильтра, и эти группы не пересекаются. Утверждение неверно.

Ответ: 3