30. Найдите площадь треугольника по трем сторонам: 1) 13, 14, 15; 2) 5, 5, 6; 3) 17, 65, 80; 4) $\frac{25}{6}, \frac{29}{6}, 6$; 5) $13, 37\frac{1}{13}, 47\frac{1}{13}$; 6) $2\frac{1}{12}, 3\frac{3}{4}, 1,83$.

Решим каждую задачу отдельно, используя формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. Сначала найдем полупериметр $p = \frac{a + b + c}{2}$, а затем подставим в формулу площади.
ewline
ewline1) a = 13, b = 14, c = 15.
ewline $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
ewline $S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$.
ewline Ответ: 84.
ewline
ewline2) a = 5, b = 5, c = 6.
ewline $p = \frac{5 + 5 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
ewline $S = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{2^3 \cdot 3^2 \cdot 2} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2} = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.
ewline Ответ: 12.
ewline
ewline3) a = 17, b = 65, c = 80.
ewline $p = \frac{17 + 65 + 80}{2} = \frac{162}{2} = 81$.
ewline $S = \sqrt{81(81-17)(81-65)(81-80)} = \sqrt{81 \cdot 64 \cdot 16 \cdot 1} = \sqrt{9^2 \cdot 8^2 \cdot 4^2} = 9 \cdot 8 \cdot 4 = 288$.
ewline Ответ: 288.
ewline
ewline4) $a = \frac{25}{6}, b = \frac{29}{6}, c = 6 = \frac{36}{6}$.
ewline $p = \frac{\frac{25}{6} + \frac{29}{6} + \frac{36}{6}}{2} = \frac{\frac{90}{6}}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$.
ewline $S = \sqrt{7.5(7.5-\frac{25}{6})(7.5-\frac{29}{6})(7.5-6)} = \sqrt{7.5(\frac{45-25}{6})(\frac{45-29}{6})(1.5)} = \sqrt{7.5(\frac{20}{6})(\frac{16}{6})(1.5)} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{15 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2^3 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^2 \cdot 3^2}} = \sqrt{2^2 \cdot 5^2} = 2 \cdot 5 = 10$.
ewline Ответ: 10.
ewline
ewline5) $a = 13, b = 37\frac{1}{13} = \frac{482}{13}, c = 47\frac{1}{13} = \frac{612}{13}$.
ewline $p = \frac{13 + \frac{482}{13} + \frac{612}{13}}{2} = \frac{\frac{169 + 482 + 612}{13}}{2} = \frac{\frac{1263}{13}}{2} = \frac{1263}{26}$.
ewline $S = \sqrt{\frac{1263}{26}(\frac{1263}{26}-13)(\frac{1263}{26}-\frac{482}{13})(\frac{1263}{26}-\frac{612}{13})} = \sqrt{\frac{1263}{26}(\frac{1263-338}{26})(\frac{1263-964}{26})(\frac{1263-1224}{26})} = \sqrt{\frac{1263}{26}(\frac{925}{26})(\frac{299}{26})(\frac{39}{26})} = \sqrt{\frac{1263 \cdot 925 \cdot 299 \cdot 39}{26^4}} = \sqrt{\frac{3^2 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 5^2 \cdot 37 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 13}{2^4 \cdot 13^4}} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 13 \sqrt{11 \cdot 37}}{13 \cdot 2^2} = \frac{15 \sqrt{407}}{4}$.
ewline Ответ: $\frac{15 \sqrt{407}}{4}$.
ewline
ewline6) $a = 2\frac{1}{12} = \frac{25}{12}, b = 3.75 = \frac{375}{100} = \frac{15}{4} = \frac{45}{12}, c = 1.83 = \frac{183}{100}$.
ewline $p = \frac{\frac{25}{12} + \frac{45}{12} + \frac{183}{100}}{2} = \frac{\frac{70}{12} + \frac{183}{100}}{2} = \frac{\frac{35}{6} + \frac{183}{100}}{2} = \frac{\frac{3500 + 1098}{600}}{2} = \frac{\frac{4598}{600}}{2} = \frac{2299}{600}$.
ewline Данные числа неудобны для вычисления площади. Требуется проверить условие на корректность.