Найдите произведение точек минимума функции $$f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - 15x^2$$.

Для нахождения точек минимума функции $$f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - 15x^2$$ необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю и определить знаки второй производной в полученных точках. 1. Находим первую производную: $$f'(x) = x^3 + x^2 - 30x$$ 2. Приравниваем первую производную к нулю: $$x^3 + x^2 - 30x = 0$$ $$x(x^2 + x - 30) = 0$$ $$x(x+6)(x-5) = 0$$ Отсюда находим корни: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = -6$$, $$x_3 = 5$$. 3. Находим вторую производную: $$f''(x) = 3x^2 + 2x - 30$$ 4. Определяем знаки второй производной в найденных точках: * $$f''(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 30 = -30 < 0$$. Значит, $$x = 0$$ - точка максимума. * $$f''(-6) = 3(-6)^2 + 2(-6) - 30 = 3(36) - 12 - 30 = 108 - 42 = 66 > 0$$. Значит, $$x = -6$$ - точка минимума. * $$f''(5) = 3(5)^2 + 2(5) - 30 = 3(25) + 10 - 30 = 75 - 20 = 55 > 0$$. Значит, $$x = 5$$ - точка минимума. 5. Находим произведение точек минимума: $$(-6) \cdot (5) = -30$$. Ответ: -30