Найдите путь, пройденный материальной точкой за 8 с от начала движения со скоростью V = 0.2 t^3 (м/с).

Решение:

Чтобы найти путь, пройденный материальной точкой, нам нужно вычислить определенный интеграл от функции скорости по времени.

Скорость дана формулой: \( V(t) = 0.2 t^3 \) м/с.

Путь \( S \) равен интегралу от скорости по времени от \( t=0 \) до \( t=8 \) секунд:

\[ S = \int_{0}^{8} V(t) dt \]

\[ S = \int_{0}^{8} 0.2 t^3 dt \]

Вычислим интеграл:

\[ S = 0.2 \int_{0}^{8} t^3 dt \]

\[ S = 0.2 \left[ \frac{t^4}{4} \right]_{0}^{8} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ S = 0.2 \left( \frac{8^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) \]

\[ S = 0.2 \left( \frac{4096}{4} \right) \]

\[ S = 0.2 \cdot 1024 \]

\[ S = 204.8 \]

Ответ: 204.8 м.