Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x^2 - 3x + 2 и y = x - 1.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями, сначала найдем точки их пересечения. Приравняем уравнения:

\( x^2 - 3x + 2 = x - 1 \)

\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \)

Получаем две точки пересечения: \( x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \).

Теперь найдем площадь фигуры, используя определенный интеграл. Верхняя граница интегрирования — \( x=3 \), нижняя — \( x=1 \). Функция, находящаяся выше, — \( y = x - 1 \), а ниже — \( y = x^2 - 3x + 2 \).

Площадь \( S \) вычисляется как:

\[ S = \int_{1}^{3} ((x - 1) - (x^2 - 3x + 2)) dx \]

\[ S = \int_{1}^{3} (x - 1 - x^2 + 3x - 2) dx \]

\[ S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - 3x \right]_{1}^{3} \]

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3} \]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\[ S = \left( -\frac{3^3}{3} + 2(3)^2 - 3(3) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2(1)^2 - 3(1) \right) \]

\[ S = \left( -\frac{27}{3} + 2(9) - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) \]

\[ S = \left( -9 + 18 - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) \]

\[ S = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) \]

\[ S = \frac{4}{3} \]

Ответ: \( \frac{4}{3} \).