Вычислите интеграл: \( \int_{1}^{2} (5x^3 - 8x^2) dx \)

Решение:

Вычислим определенный интеграл:

\[ \int_{1}^{2} (5x^3 - 8x^2) dx \]

Находим первообразную для подынтегральной функции \( 5x^3 - 8x^2 \):

\[ \int (5x^3 - 8x^2) dx = 5 \int x^3 dx - 8 \int x^2 dx = 5 \frac{x^4}{4} - 8 \frac{x^3}{3} + C \]

Теперь вычислим определенный интеграл, подставив пределы интегрирования:

\[ \left[ \frac{5x^4}{4} - \frac{8x^3}{3} \right]_{1}^{2} \]

\[ = \left( \frac{5 \cdot 2^4}{4} - \frac{8 \cdot 2^3}{3} \right) - \left( \frac{5 \cdot 1^4}{4} - \frac{8 \cdot 1^3}{3} \right) \]

\[ = \left( \frac{5 \cdot 16}{4} - \frac{8 \cdot 8}{3} \right) - \left( \frac{5}{4} - \frac{8}{3} \right) \]

\[ = \left( \frac{80}{4} - \frac{64}{3} \right) - \left( \frac{5}{4} - \frac{8}{3} \right) \]

\[ = \left( 20 - \frac{64}{3} \right) - \left( \frac{5}{4} - \frac{8}{3} \right) \]

\[ = 20 - \frac{64}{3} - \frac{5}{4} + \frac{8}{3} \]

Приведем дроби к общему знаменателю (12):

\[ = \frac{20 \cdot 12}{12} - \frac{64 \cdot 4}{12} - \frac{5 \cdot 3}{12} + \frac{8 \cdot 4}{12} \]

\[ = \frac{240 - 256 - 15 + 32}{12} \]

\[ = \frac{272 - 271}{12} \]

\[ = \frac{1}{12} \]

Ответ: \( \frac{1}{12} \).