Найдите пятнадцатый член геометрической прогрессии (bₙ), если b₅ = 1/4 и b₁₀ = 8.

Решение:

Шаг 1: Запишем формулу для b₁₀ через b₅:

\[b_{10} = b_5 \cdot q^{10-5} = b_5 \cdot q^5\]

Шаг 2: Выразим q⁵:

\[q^5 = \frac{b_{10}}{b_5}\]

Шаг 3: Подставим известные значения (b₅ = 1/4, b₁₀ = 8) в формулу:

\[q^5 = \frac{8}{\frac{1}{4}} = 8 \cdot 4 = 32\]

Шаг 4: Найдем q:

\[q = \sqrt[5]{32} = 2\]

Шаг 5: Найдем b₁ через b₅:

\[b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 \Rightarrow b_1 = \frac{b_5}{q^4}\]

Шаг 6: Подставим известные значения (b₅ = 1/4, q = 2) в формулу:

\[b_1 = \frac{\frac{1}{4}}{2^4} = \frac{\frac{1}{4}}{16} = \frac{1}{4 \cdot 16} = \frac{1}{64}\]

Шаг 7: Найдем b₁₅:

\[b_{15} = b_1 \cdot q^{15-1} = b_1 \cdot q^{14}\]

Шаг 8: Подставим известные значения (b₁ = 1/64, q = 2) в формулу:

\[b_{15} = \frac{1}{64} \cdot 2^{14} = \frac{2^{14}}{2^6} = 2^{14-6} = 2^8 = 256\]