Последовательность (bₙ) — геометрическая прогрессия, в которой b₆ = 40 и q= √2. Найдите b₁.

Решение:

Шаг 1: Запишем формулу n-го члена геометрической прогрессии:

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

Шаг 2: Выразим b₁ через b₆:

\[b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} \Rightarrow b_1 = \frac{b_6}{q^5}\]

Шаг 3: Подставим известные значения (b₆ = 40, q = √2) в формулу:

\[b_1 = \frac{40}{(\sqrt{2})^5}\]

Шаг 4: Вычислим (√2)⁵:

\[(\sqrt{2})^5 = (\sqrt{2})^4 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}\]

Шаг 5: Подставим (√2)⁵ = 4√2 в формулу:

\[b_1 = \frac{40}{4\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}}\]

Шаг 6: Избавимся от иррациональности в знаменателе:

\[b_1 = \frac{10}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\]