Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если его площадь равна 6√3, BC = 2√3, AC = 8, ∠C — острый.

Площадь через стороны BC, AC и угол между ними:

\(6\sqrt3=\frac12\cdot2\sqrt3\cdot8\cdot\sin C=8\sqrt3\sin C\), поэтому \(\sin C=\frac34\). Так как угол C острый, \(\cos C=\sqrt{1-\sin^2 C}=\frac{\sqrt7}{4}\).

По теореме косинусов найдём сторону \(AB\), противолежащую углу C:

\(AB^2=(2\sqrt3)^2+8^2-2\cdot2\sqrt3\cdot8\cdot\frac{\sqrt7}{4}=76-8\sqrt{21}\).

Используем формулу радиуса описанной окружности: \(AB=2R\sin C\). Тогда

\(R=\frac{\sqrt{76-8\sqrt{21}}}{2\cdot\frac34}=\frac23\sqrt{76-8\sqrt{21}}\approx4.18\).

Ответ: \(R=\frac23\sqrt{76-8\sqrt{21}}\approx4.18\).