4. Найдите решение неравенства $$\frac{3}{x+1} ≤ \frac{5}{x+2}$$.

4. Решим неравенство $$\frac{3}{x+1} ≤ \frac{5}{x+2}$$.

Перенесем все в левую часть: $$\frac{3}{x+1} - \frac{5}{x+2} ≤ 0$$

Приведем к общему знаменателю: $$\frac{3(x+2) - 5(x+1)}{(x+1)(x+2)} ≤ 0$$

$$\frac{3x + 6 - 5x - 5}{(x+1)(x+2)} ≤ 0$$

$$\frac{-2x + 1}{(x+1)(x+2)} ≤ 0$$

$$\frac{2x - 1}{(x+1)(x+2)} ≥ 0$$

Найдем нули функции: $$2x - 1 = 0$$ => $$2x = 1$$ => $$x = \frac{1}{2}$$

$$x + 1 = 0$$ => $$x = -1$$

$$x + 2 = 0$$ => $$x = -2$$

Отметим нули на числовой прямой:

--------------------(-2)+++++++++++++++(-1)-----------------(1/2)++++++++++>

Определим знаки на интервалах: берем число больше 1/2, например, 1. (2*1-1)/((1+1)(1+2)) > 0 => справа от 1/2 знак +

Интервалы знаков (справа налево): +, -, +, -

Нам нужны интервалы, где функция больше или равна 0 (≥ 0):

$$x \in (-2; -1) \cup [\frac{1}{2}; +∞)$$.

Ответ: $$x \in (-2; -1) \cup [\frac{1}{2}; +∞)$$