Найдите sin 2α, если cos α = $$\sqrt{\frac{17}{18}}$$, α ∈ $$(\frac{3π}{2}$$; 2π).

Задание 10

Дано:

• \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{17}{18}} \)
• \( \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \)

Найти: \( \sin 2\alpha \).

Решение:

Сначала найдём \( \sin \alpha \) используя основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \]

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \left( \sqrt{\frac{17}{18}} \right)^2 \]

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{17}{18} \]

\[ \sin^2 \alpha = \frac{18}{18} - \frac{17}{18} \]

\[ \sin^2 \alpha = \frac{1}{18} \]

Теперь извлечём квадратный корень:

\[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{18}} = \pm \frac{1}{\sqrt{18}} = \pm \frac{1}{3\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{6} \]

Так как \( \alpha \) находится в четвёртом квадранте (от \( \frac{3\pi}{2} \) до \( 2\pi \)), то \( \sin \alpha \) отрицателен. Следовательно:

\[ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{6} \]

Теперь найдём \( \sin 2\alpha \) по формуле двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

\[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{6} \right) \cdot \left( \sqrt{\frac{17}{18}} \right) \]

\[ \sin 2\alpha = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{18}} \]

\[ \sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3\sqrt{2}} \]

Сократим \( \sqrt{2} \):

\[ \sin 2\alpha = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} \]

\[ \sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{17}}{9} \]

Ответ: $$-\frac{\sqrt{17}}{9}$$