Найдите sin 2a, если sin a = -7/25, а ∈ (3π/2; 2π).

Дано:

• \[ \sin \alpha = -\frac{7}{25} \]
• \[ \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \]

Найти:

• \[ \sin 2\alpha \]

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]

Нам известно значение \(\sin \alpha\), но нужно найти \(\cos \alpha\).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Подставим значение \(\sin \alpha\):

\[ \left(-\frac{7}{25}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \frac{49}{625} + \cos^2 \alpha = 1 \]

Найдем \(\cos^2 \alpha\):

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625} \]

Теперь найдем \(\cos \alpha\):

\[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{576}{625}} = \pm \frac{24}{25} \]

По условию, \(\alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right)\). Это четвертый координатный угол, где косинус положителен, а синус отрицателен.

Следовательно, \(\cos \alpha = \frac{24}{25}\).

Теперь подставим значения \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) в формулу синуса двойного угла:

\[ \sin 2\alpha = 2 \times \left(-\frac{7}{25}\right) \times \frac{24}{25} \]

\[ \sin 2\alpha = -\frac{14}{25} \times \frac{24}{25} \]

\[ \sin 2\alpha = -\frac{14 \times 24}{25 \times 25} \]

\[ \sin 2\alpha = -\frac{336}{625} \]

Ответ: -336/625