697. Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника ABC с прямым углом С, если: а) BC=8, AB=17; б) BC=21, AC=20; в) BC=1, AC=2; г) AC=24, AB=25.

Решение: а) BC = 8, AB = 17. Треугольник ABC прямоугольный, где C - прямой угол. Значит, AB - гипотенуза, BC - катет. По теореме Пифагора, (AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15). Теперь найдем синусы, косинусы и тангенсы углов A и B: \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}\] \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}\] \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}\] \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}\] \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}\] \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}\] б) BC = 21, AC = 20. Треугольник ABC прямоугольный, где C - прямой угол. По теореме Пифагора, (AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29). \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}\] \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}\] \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{20}\] \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}\] \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}\] \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21}\] в) BC = 1, AC = 2. Треугольник ABC прямоугольный, где C - прямой угол. По теореме Пифагора, (AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}). \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\] \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\] \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}\] \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\] \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\] \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2\] г) AC = 24, AB = 25. Треугольник ABC прямоугольный, где C - прямой угол. Значит, AB - гипотенуза, AC - катет. По теореме Пифагора, (BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7). \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}\] \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}\] \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24}\] \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}\] \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}\] \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7}\]