Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения lg(x² + 12x + 28) - lg(x + 4) = 0.

Решение:

1. ОДЗ (Область допустимых значений):
• \(x^2 + 12x + 28 > 0\)
• \(x + 4 > 0 → x > -4\)
2. Для первого неравенства найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 + 12x + 28 = 0\):

\[ D = 12^2 - 4 · 1 · 28 = 144 - 112 = 32 \]

\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -6 \pm 2\sqrt{2} \]

Таким образом, \(x^2 + 12x + 28 > 0\) при \(x < -6 - 2\sqrt{2}\) или \(x > -6 + 2\sqrt{2}\).

Так как \(2\sqrt{2} \approx 2.8\), то \(-6 + 2\sqrt{2} \approx -3.2\).

Учитывая \(x > -4\) из второго условия ОДЗ, получаем, что \(x > -6 + 2\sqrt{2}\).

3. Решение уравнения:
• \( ext{lg}(x^2 + 12x + 28) - ext{lg}(x + 4) = 0\)
• \( ext{lg}(x^2 + 12x + 28) = ext{lg}(x + 4)\)
• Поскольку логарифмическая функция является взаимно однозначной, приравниваем аргументы:

\[ x^2 + 12x + 28 = x + 4 \]

• Приводим к квадратному уравнению:

\[ x^2 + 11x + 24 = 0 \]

• Найдем корни этого квадратного уравнения:

\[ D = 11^2 - 4 · 1 · 24 = 121 - 96 = 25 \]

\[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-11 \pm 5}{2} \]

• Получаем два возможных корня:

\[ x_1 = \frac{-11 + 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

\[ x_2 = \frac{-11 - 5}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

• Проверка корней по ОДЗ:
• Для \(x_1 = -3\):
• \(x + 4 = -3 + 4 = 1 > 0\) (условие выполнено)
• \(x^2 + 12x + 28 = (-3)^2 + 12(-3) + 28 = 9 - 36 + 28 = 1 > 0\) (условие выполнено)
• Следовательно, \(x_1 = -3\) является корнем уравнения.
• Для \(x_2 = -8\):
• \(x + 4 = -8 + 4 = -4\). Условие \(x + 4 > 0\) не выполнено.
• Следовательно, \(x_2 = -8\) является посторонним корнем.
• Сумма корней:
• Так как единственным корнем уравнения является \(-3\), сумма корней равна \(-3\).

Ответ: -3