Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения log₂(x-5) + log₂(x-2) = log₃9.

Решение:

Для решения уравнения \(\log_2(x-5) + \log_2(x-2) = \log_39\) сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) и упростим уравнение.

1. ОДЗ:
• \(x-5 > 0 → x > 5\)
• \(x-2 > 0 → x > 2\)
• Объединяя условия, получаем \(x > 5\).
2. Упрощение уравнения:
• Используем свойство логарифма \(\log_b A + \log_b B = \log_b (A \cdot B)\):

\[ \log_2((x-5)(x-2)) = \log_39 \]

• Вычислим \(\log_39\): \(\log_39 = 2\), так как \(3^2 = 9\).

\[ \log_2((x-5)(x-2)) = 2 \]

• Перейдем от логарифмического вида к степенному: \(a^b = c → \log_a c = b\).

\[ (x-5)(x-2) = 2^2 \]

\[ (x-5)(x-2) = 4 \]

• Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению:

\[ x^2 - 2x - 5x + 10 = 4 \]

\[ x^2 - 7x + 6 = 0 \]

3. Решение квадратного уравнения:
• Используем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac\)

\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \]

• Найдем корни: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

\[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

4. Проверка по ОДЗ:
• \(x_1 = 6\) удовлетворяет условию \(x > 5\).
• \(x_2 = 1\) не удовлетворяет условию \(x > 5\), поэтому является посторонним корнем.
5. Сумма корней:
• Так как уравнение имеет единственный корень \(x = 6\), сумма корней равна самому этому корню.

Ответ: 6