572. Найдите сумму первых пятидесяти, ста, n членов последовательности (хₙ), если: a) хₙ = 4n + 2; б) хₙ = 2n + 3; в) хₙ = n - 4; г) хₙ = 3n - 1.

a) Дано: $$x_n = 4n + 2$$. Сумма первых 50 членов: $$x_1 = 4 \cdot 1 + 2 = 6$$, $$x_{50} = 4 \cdot 50 + 2 = 202$$. $$S_{50} = \frac{x_1 + x_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{6 + 202}{2} \cdot 50 = \frac{208}{2} \cdot 50 = 104 \cdot 50 = 5200$$. Сумма первых 100 членов: $$x_1 = 6$$, $$x_{100} = 4 \cdot 100 + 2 = 402$$. $$S_{100} = \frac{x_1 + x_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{6 + 402}{2} \cdot 100 = \frac{408}{2} \cdot 100 = 204 \cdot 100 = 20400$$. Сумма первых n членов: $$x_1 = 6$$, $$x_n = 4n + 2$$. $$S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n = \frac{6 + 4n + 2}{2} \cdot n = \frac{4n + 8}{2} \cdot n = (2n + 4) \cdot n = 2n^2 + 4n$$. Ответ: $$S_{50} = 5200$$, $$S_{100} = 20400$$, $$S_n = 2n^2 + 4n$$ б) Дано: $$x_n = 2n + 3$$. Сумма первых 50 членов: $$x_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5$$, $$x_{50} = 2 \cdot 50 + 3 = 103$$. $$S_{50} = \frac{x_1 + x_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{5 + 103}{2} \cdot 50 = \frac{108}{2} \cdot 50 = 54 \cdot 50 = 2700$$. Сумма первых 100 членов: $$x_1 = 5$$, $$x_{100} = 2 \cdot 100 + 3 = 203$$. $$S_{100} = \frac{x_1 + x_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{5 + 203}{2} \cdot 100 = \frac{208}{2} \cdot 100 = 104 \cdot 100 = 10400$$. Сумма первых n членов: $$x_1 = 5$$, $$x_n = 2n + 3$$. $$S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n = \frac{5 + 2n + 3}{2} \cdot n = \frac{2n + 8}{2} \cdot n = (n + 4) \cdot n = n^2 + 4n$$. Ответ: $$S_{50} = 2700$$, $$S_{100} = 10400$$, $$S_n = n^2 + 4n$$ в) Дано: $$x_n = n - 4$$. Сумма первых 50 членов: $$x_1 = 1 - 4 = -3$$, $$x_{50} = 50 - 4 = 46$$. $$S_{50} = \frac{x_1 + x_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{-3 + 46}{2} \cdot 50 = \frac{43}{2} \cdot 50 = 21.5 \cdot 50 = 1075$$. Сумма первых 100 членов: $$x_1 = -3$$, $$x_{100} = 100 - 4 = 96$$. $$S_{100} = \frac{x_1 + x_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{-3 + 96}{2} \cdot 100 = \frac{93}{2} \cdot 100 = 46.5 \cdot 100 = 4650$$. Сумма первых n членов: $$x_1 = -3$$, $$x_n = n - 4$$. $$S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n = \frac{-3 + n - 4}{2} \cdot n = \frac{n - 7}{2} \cdot n = \frac{n^2 - 7n}{2} = \frac{1}{2}n^2 - \frac{7}{2}n$$. Ответ: $$S_{50} = 1075$$, $$S_{100} = 4650$$, $$S_n = \frac{n^2 - 7n}{2}$$ г) Дано: $$x_n = 3n - 1$$. Сумма первых 50 членов: $$x_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$$, $$x_{50} = 3 \cdot 50 - 1 = 149$$. $$S_{50} = \frac{x_1 + x_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{2 + 149}{2} \cdot 50 = \frac{151}{2} \cdot 50 = 75.5 \cdot 50 = 3775$$. Сумма первых 100 членов: $$x_1 = 2$$, $$x_{100} = 3 \cdot 100 - 1 = 299$$. $$S_{100} = \frac{x_1 + x_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{2 + 299}{2} \cdot 100 = \frac{301}{2} \cdot 100 = 150.5 \cdot 100 = 15050$$. Сумма первых n членов: $$x_1 = 2$$, $$x_n = 3n - 1$$. $$S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n = \frac{2 + 3n - 1}{2} \cdot n = \frac{3n + 1}{2} \cdot n = \frac{3n^2 + n}{2} = \frac{3}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$$. Ответ: $$S_{50} = 3775$$, $$S_{100} = 15050$$, $$S_n = \frac{3n^2 + n}{2}$$