572. Найдите сумму первых пятидесяти, ста, n членов последовательности (хₙ), если: a) xₙ = 4n + 2; в) xₙ = n - 4; б) xₙ = 2n + 3; г) xₙ = 3n - 1.

a) xₙ = 4n + 2

• Шаг 1: Найдем первый член последовательности x₁:

\[ x_1 = 4 \cdot 1 + 2 = 6 \]

• Шаг 2: Найдем пятидесятый член последовательности x₅₀:

\[ x_{50} = 4 \cdot 50 + 2 = 202 \]

• Шаг 3: Найдем сумму первых пятидесяти членов S₅₀:

\[ S_{50} = \frac{(x_1 + x_{50}) \cdot 50}{2} = \frac{(6 + 202) \cdot 50}{2} = \frac{208 \cdot 50}{2} = 104 \cdot 50 = 5200 \]

• Шаг 4: Найдем сотый член последовательности x₁₀₀:

\[ x_{100} = 4 \cdot 100 + 2 = 402 \]

• Шаг 5: Найдем сумму первых ста членов S₁₀₀:

\[ S_{100} = \frac{(x_1 + x_{100}) \cdot 100}{2} = \frac{(6 + 402) \cdot 100}{2} = \frac{408 \cdot 100}{2} = 204 \cdot 100 = 20400 \]

• Шаг 6: Найдем n-ый член последовательности xₙ:

\[ x_n = 4n + 2 \]

• Шаг 7: Найдем сумму первых n членов Sₙ:

\[ S_n = \frac{(x_1 + x_n) \cdot n}{2} = \frac{(6 + 4n + 2) \cdot n}{2} = \frac{(4n + 8) \cdot n}{2} = (2n + 4) \cdot n = 2n^2 + 4n \]

Ответ: S₅₀ = 5200, S₁₀₀ = 20400, Sₙ = 2n² + 4n

б) xₙ = 2n + 3

• Шаг 1: Найдем первый член последовательности x₁:

\[ x_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \]

• Шаг 2: Найдем пятидесятый член последовательности x₅₀:

\[ x_{50} = 2 \cdot 50 + 3 = 103 \]

• Шаг 3: Найдем сумму первых пятидесяти членов S₅₀:

\[ S_{50} = \frac{(x_1 + x_{50}) \cdot 50}{2} = \frac{(5 + 103) \cdot 50}{2} = \frac{108 \cdot 50}{2} = 54 \cdot 50 = 2700 \]

• Шаг 4: Найдем сотый член последовательности x₁₀₀:

\[ x_{100} = 2 \cdot 100 + 3 = 203 \]

• Шаг 5: Найдем сумму первых ста членов S₁₀₀:

\[ S_{100} = \frac{(x_1 + x_{100}) \cdot 100}{2} = \frac{(5 + 203) \cdot 100}{2} = \frac{208 \cdot 100}{2} = 104 \cdot 100 = 10400 \]

• Шаг 6: Найдем n-ый член последовательности xₙ:

\[ x_n = 2n + 3 \]

• Шаг 7: Найдем сумму первых n членов Sₙ:

\[ S_n = \frac{(x_1 + x_n) \cdot n}{2} = \frac{(5 + 2n + 3) \cdot n}{2} = \frac{(2n + 8) \cdot n}{2} = (n + 4) \cdot n = n^2 + 4n \]

Ответ: S₅₀ = 2700, S₁₀₀ = 10400, Sₙ = n² + 4n

в) xₙ = n - 4

• Шаг 1: Найдем первый член последовательности x₁:

\[ x_1 = 1 - 4 = -3 \]

• Шаг 2: Найдем пятидесятый член последовательности x₅₀:

\[ x_{50} = 50 - 4 = 46 \]

• Шаг 3: Найдем сумму первых пятидесяти членов S₅₀:

\[ S_{50} = \frac{(x_1 + x_{50}) \cdot 50}{2} = \frac{(-3 + 46) \cdot 50}{2} = \frac{43 \cdot 50}{2} = 43 \cdot 25 = 1075 \]

• Шаг 4: Найдем сотый член последовательности x₁₀₀:

\[ x_{100} = 100 - 4 = 96 \]

• Шаг 5: Найдем сумму первых ста членов S₁₀₀:

\[ S_{100} = \frac{(x_1 + x_{100}) \cdot 100}{2} = \frac{(-3 + 96) \cdot 100}{2} = \frac{93 \cdot 100}{2} = 93 \cdot 50 = 4650 \]

• Шаг 6: Найдем n-ый член последовательности xₙ:

\[ x_n = n - 4 \]

• Шаг 7: Найдем сумму первых n членов Sₙ:

\[ S_n = \frac{(x_1 + x_n) \cdot n}{2} = \frac{(-3 + n - 4) \cdot n}{2} = \frac{(n - 7) \cdot n}{2} = \frac{n^2 - 7n}{2} \]

Ответ: S₅₀ = 1075, S₁₀₀ = 4650, Sₙ = (n² - 7n) / 2

г) xₙ = 3n - 1

• Шаг 1: Найдем первый член последовательности x₁:

\[ x_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2 \]

• Шаг 2: Найдем пятидесятый член последовательности x₅₀:

\[ x_{50} = 3 \cdot 50 - 1 = 149 \]

• Шаг 3: Найдем сумму первых пятидесяти членов S₅₀:

\[ S_{50} = \frac{(x_1 + x_{50}) \cdot 50}{2} = \frac{(2 + 149) \cdot 50}{2} = \frac{151 \cdot 50}{2} = 151 \cdot 25 = 3775 \]

• Шаг 4: Найдем сотый член последовательности x₁₀₀:

\[ x_{100} = 3 \cdot 100 - 1 = 299 \]

• Шаг 5: Найдем сумму первых ста членов S₁₀₀:

\[ S_{100} = \frac{(x_1 + x_{100}) \cdot 100}{2} = \frac{(2 + 299) \cdot 100}{2} = \frac{301 \cdot 100}{2} = 301 \cdot 50 = 15050 \]

• Шаг 6: Найдем n-ый член последовательности xₙ:

\[ x_n = 3n - 1 \]

• Шаг 7: Найдем сумму первых n членов Sₙ:

\[ S_n = \frac{(x_1 + x_n) \cdot n}{2} = \frac{(2 + 3n - 1) \cdot n}{2} = \frac{(3n + 1) \cdot n}{2} = \frac{3n^2 + n}{2} \]

Ответ: S₅₀ = 3775, S₁₀₀ = 15050, Sₙ = (3n² + n) / 2