572. Найдите сумму первых пятидесяти, ста, п членов последователь- ности (хₙ), если: a) xₙ = 4n + 2; B) xₙ = n - 4; 6) xₙ = 2n + 3; г) xₙ = 3n - 1.

a) xₙ = 4n + 2

Сумма первых n членов последовательности: $$S_n = \sum_{i=1}^{n} (4i + 2) = 4\sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} 2 = 4\frac{n(n+1)}{2} + 2n = 2n(n+1) + 2n = 2n^2 + 2n + 2n = 2n^2 + 4n$$

Для n=50: $$S_{50} = 2(50^2) + 4(50) = 2(2500) + 200 = 5000 + 200 = 5200$$

Для n=100: $$S_{100} = 2(100^2) + 4(100) = 2(10000) + 400 = 20000 + 400 = 20400$$

б) xₙ = 2n + 3

Сумма первых n членов последовательности: $$S_n = \sum_{i=1}^{n} (2i + 3) = 2\sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} 3 = 2\frac{n(n+1)}{2} + 3n = n(n+1) + 3n = n^2 + n + 3n = n^2 + 4n$$

Для n=50: $$S_{50} = (50^2) + 4(50) = 2500 + 200 = 2700$$

Для n=100: $$S_{100} = (100^2) + 4(100) = 10000 + 400 = 10400$$

в) xₙ = n - 4

Сумма первых n членов последовательности: $$S_n = \sum_{i=1}^{n} (i - 4) = \sum_{i=1}^{n} i - \sum_{i=1}^{n} 4 = \frac{n(n+1)}{2} - 4n = \frac{n^2 + n - 8n}{2} = \frac{n^2 - 7n}{2}$$

Для n=50: $$S_{50} = \frac{(50^2) - 7(50)}{2} = \frac{2500 - 350}{2} = \frac{2150}{2} = 1075$$

Для n=100: $$S_{100} = \frac{(100^2) - 7(100)}{2} = \frac{10000 - 700}{2} = \frac{9300}{2} = 4650$$

г) xₙ = 3n - 1

Сумма первых n членов последовательности: $$S_n = \sum_{i=1}^{n} (3i - 1) = 3\sum_{i=1}^{n} i - \sum_{i=1}^{n} 1 = 3\frac{n(n+1)}{2} - n = \frac{3n^2 + 3n - 2n}{2} = \frac{3n^2 + n}{2}$$

Для n=50: $$S_{50} = \frac{3(50^2) + 50}{2} = \frac{7500 + 50}{2} = \frac{7550}{2} = 3775$$

Для n=100: $$S_{100} = \frac{3(100^2) + 100}{2} = \frac{30000 + 100}{2} = \frac{30100}{2} = 15050$$

Ответ: a) S₅₀=5200, S₁₀₀=20400, Sₙ=2n²+4n; б) S₅₀=2700, S₁₀₀=10400, Sₙ=n²+4n; в) S₅₀=1075, S₁₀₀=4650, Sₙ=(n²-7n)/2; г) S₅₀=3775, S₁₀₀=15050, Sₙ=(3n²+n)/2.