Найдите сумму тангенсов острых углов ABC и DBC, изображённых на рисунке.

Из рисунка видно, что координаты точек:

• (B(1; 1))
• (A(2; 5))
• (C(5; 1))
• (D(4; 2))

Тангенс угла (ABC) равен отношению противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, образованном точками (A), проекцией (A) на прямую (BC) и точкой (B). Проекция точки A на прямую BC имеет координаты (2, 1). Длина противолежащего катета равна (5 - 1 = 4), а длина прилежащего катета равна (2 - 1 = 1).

Следовательно, (tg(\angle ABC) = \frac{4 - 1}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4).

Тангенс угла (DBC) равен отношению противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, образованном точками (D), проекцией (D) на прямую (BC) и точкой (B). Проекция точки D на прямую BC имеет координаты (4, 1). Длина противолежащего катета равна (2 - 1 = 1), а длина прилежащего катета равна (4 - 1 = 3).

Следовательно, (tg(\angle DBC) = \frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3}).

Сумма тангенсов углов (ABC) и (DBC) равна:

$$tg(\angle ABC) + tg(\angle DBC) = 4 + \frac{1}{3} = \frac{12}{3} + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}$$

Ответ: 13/3