18. Найдите тангенс угла АОВ (см. рис. 38).

Из рисунка 38 видно, что координаты точки A (1, 4), координаты точки B (5, 1), и координаты точки O (0, 0). Тангенс угла AOB можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный перпендикуляром из точки A на ось OX и отрезком OX.

Чтобы найти тангенс угла, нужно рассмотреть треугольник, где угол AOB является одним из углов. Опустим перпендикуляры из точек A и B на ось OX. Получим прямоугольные треугольники.

Для точки A: высота = 4, основание = 1. Тангенс угла между OA и осью OX = 4/1 = 4.

Для точки B: высота = 1, основание = 5. Тангенс угла между OB и осью OX = 1/5 = 0.2.

Тангенс разности двух углов можно вычислить по формуле:

$$tg(\alpha - \beta) = \frac{tg(\alpha) - tg(\beta)}{1 + tg(\alpha) \cdot tg(\beta)}$$

В нашем случае:

$$tg(AOB) = \frac{4 - 0.2}{1 + 4 \cdot 0.2} = \frac{3.8}{1 + 0.8} = \frac{3.8}{1.8} = \frac{38}{18} = \frac{19}{9} \approx 2.11$$