10. Найдите tg 2α, если sin α = \frac{\sqrt{17}}{9} и - π < α < -\frac{π}{2}.

1) Сначала найдем \( cos α \). Из основного тригонометрического тождества \( sin^2 α + cos^2 α = 1 \) получим:

\[ cos^2 α = 1 - sin^2 α \]

\[ cos^2 α = 1 - \left(\frac{\sqrt{17}}{9}\right)^2 \]

\[ cos^2 α = 1 - \frac{17}{81} = \frac{81 - 17}{81} = \frac{64}{81} \]

\[ cos α = ±\sqrt{\frac{64}{81}} = ±\frac{8}{9} \]

2) Так как \( -π < α < -\frac{π}{2} \), угол \( α \) находится в III четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, \( cos α = -\frac{8}{9} \).

3) Теперь найдем \( tg α \):

\[ tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{9}}{-\frac{8}{9}} = -\frac{\sqrt{17}}{8} \]

4) Далее найдем \( tg 2α \) по формуле двойного угла:

\[ tg 2α = \frac{2 \cdot tg α}{1 - tg^2 α} \]

\[ tg 2α = \frac{2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{17}}{8}\right)}{1 - \left(-\frac{\sqrt{17}}{8}\right)^2} \]

\[ tg 2α = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{4}}{1 - \frac{17}{64}} = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{4}}{\frac{64 - 17}{64}} = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{4}}{\frac{47}{64}} \]

\[ tg 2α = -\frac{\sqrt{17}}{4} \cdot \frac{64}{47} = -\frac{\sqrt{17} \cdot 16}{47} = -\frac{16\sqrt{17}}{47} \]

5) В ответе нужно записать найденное значение, умноженное на \( \sqrt{17} \):

\[ -\frac{16\sqrt{17}}{47} \cdot \sqrt{17} = -\frac{16 \cdot 17}{47} = -\frac{272}{47} \]

Ответ: -\(\frac{272}{47}\)

Проверка за 10 секунд: Нашли косинус, тангенс, удвоенный тангенс и умножили на корень.

База: Знание тригонометрических тождеств и формул двойного угла.