11. Точка H является основанием высоты BH, проведенной из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках Ри К соответственно. Найдите BH, если РК = 14.

1) Рассмотрим треугольник PHK. Так как BH - диаметр окружности, углы BPH и BKH прямые (как углы, опирающиеся на диаметр). Значит, \( \angle BPH = 90^\circ \) и \( \angle BKH = 90^\circ \).

2) Так как \( \angle BPH = 90^\circ \), то \( \angle HPR = 90^\circ \), а так как \( \angle BKH = 90^\circ \), то \( \angle HKC = 90^\circ \).

3) Угол \( \angle PRK \) прямой, так как опирается на диаметр. Тогда треугольник РНК – прямоугольный.

4) Заметим, что четырехугольник CPHK - прямоугольник, так как \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle HKC = 90^\circ \) и \( \angle HPR = 90^\circ \). Следовательно, \( PK = CH = 14 \).

5) Рассмотрим треугольники ABH и CBH. Они прямоугольные, так как BH - высота.

6) Треугольники ABH и CBH подобны, так как \( \angle ABH = \angle BCH \) (как углы, дополняющие один и тот же угол до \( 90^\circ \)). Значит, \( \triangle ABH \sim \triangle CBH \).

7) Из подобия следует, что \( \frac{BH}{CH} = \frac{AH}{BH} \). Отсюда \( BH^2 = AH \cdot CH \).

8) Аналогично можно доказать, что \( \triangle PBH \sim \triangle BHK \). Отсюда следует, что \( \angle PBH = \angle BKH \).

9) Так как \( \angle ABC = 90^\circ \) и BH - высота, то \( \triangle ABH \sim \triangle CBH \sim \triangle ABC \). Поэтому \( BH^2 = AH \cdot HC \).

10) Обозначим \( BH = x \). Тогда \( x^2 = AH \cdot 14 \).

11) Так как \( \triangle ABH \sim \triangle CBH \), то \( BH \) является средним геометрическим между \( AH \) и \( CH \):

\[ BH = \sqrt{AH \cdot CH} \]

\[ BH = \sqrt{AH \cdot PK} = PK \]

\[ BH = \sqrt{14 \cdot 14} = 14 \]

Ответ: 14

Проверка за 10 секунд: Доказали подобие, нашли BH.

База: Свойства прямоугольного треугольника и подобия.