Найдите tg 2a, если sina = -$$\frac{\sqrt{39}}{8}$$ и $$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$.

Решение:

1. Находим cos a:
   Так как $$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$, угол $$\alpha$$ находится в третьем квадранте, где косинус отрицателен. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$.
   
   $$(\frac{-\sqrt{39}}{8})^2 + \cos^2 \alpha = 1$$
   
   $$\frac{39}{64} + \cos^2 \alpha = 1$$
   
   $$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{39}{64} = \frac{64 - 39}{64} = \frac{25}{64}$$
   
   $$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{64}} = \pm\frac{5}{8}$$.
   Так как $$\alpha$$ в третьем квадранте, $$\cos \alpha = -\frac{5}{8}$$.
2. Находим tg a:
   $$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{39}}{8}}{-\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{39}}{5}$$.
3. Находим tg 2a:
   Используем формулу тангенса двойного угла: $$\text{tg } 2\alpha = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}$$.
   
   $$\text{tg } 2\alpha = \frac{2 \times \frac{\sqrt{39}}{5}}{1 - (\frac{\sqrt{39}}{5})^2} = \frac{\frac{2\sqrt{39}}{5}}{1 - \frac{39}{25}} = \frac{\frac{2\sqrt{39}}{5}}{\frac{25 - 39}{25}} = \frac{\frac{2\sqrt{39}}{5}}{\frac{-14}{25}}$$
   
   $$\text{tg } 2\alpha = \frac{2\sqrt{39}}{5} \times \frac{25}{-14} = \frac{2\sqrt{39} \times 5}{-14} = \frac{10\sqrt{39}}{-14} = -\frac{5\sqrt{39}}{7}$$.

Ответ: $$-\frac{5\sqrt{39}}{7}$$