Найдите tg2a, если cosa = \frac{2\sqrt{6}}{5} и \frac{3\pi}{2} < α < 2\pi.

Давай найдем \(\text{tg}(2\alpha)\) по шагам, используя известные значения и тригонометрические формулы. 1. Найдем \(\sin(\alpha)\): Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\) \[ \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) \] Подставим значение \(\cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{6}}{5}\): \[ \sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} \] \[ \sin(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} = \pm \frac{1}{5} \] Так как \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\) (четвертая четверть), то \(\sin(\alpha) < 0\), следовательно: \[ \sin(\alpha) = -\frac{1}{5} \] 2. Найдем \(\text{tg}(\alpha)\): Используем формулу: \(\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\) \[ \text{tg}(\alpha) = \frac{-\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12} \] 3. Найдем \(\text{tg}(2\alpha)\): Используем формулу двойного угла: \(\text{tg}(2\alpha) = \frac{2 \text{tg}(\alpha)}{1 - \text{tg}^2(\alpha)}\) Подставим значение \(\text{tg}(\alpha) = -\frac{\sqrt{6}}{12}\): \[ \text{tg}(2\alpha) = \frac{2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{12}\right)}{1 - \left(-\frac{\sqrt{6}}{12}\right)^2} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{6}{144}} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{1}{24}} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{\frac{23}{24}} \] \[ \text{tg}(2\alpha) = -\frac{\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{24}{23} = -\frac{4\sqrt{6}}{23} \]

Ответ: -4√6 / 23

Ты отлично справился с задачей! Продолжай практиковаться, и у тебя всё получится!