2. Найдите точки экстремума. функции: a) y = x²-6x2-15x-7 6)y=+

а) y = x² - 6x² - 15x - 7

Приведем подобные слагаемые:

\[y = -5x^2 - 15x - 7\]

• Шаг 1: Находим производную функции.

\[y' = -10x - 15\]

• Шаг 2: Находим критические точки, приравняв производную к нулю.

\[-10x - 15 = 0\] \[-10x = 15\] \[x = -\frac{3}{2} = -1.5\]

• Шаг 3: Определяем знаки производной на промежутках.

При x < -1.5, например, x = -2: y'(-2) = -10(-2) - 15 = 20 - 15 = 5 > 0, функция возрастает.

При x > -1.5, например, x = 0: y'(0) = -10(0) - 15 = -15 < 0, функция убывает.

Ответ: x = -1.5 - точка максимума.

б) y = \(\frac{4}{x} + x\)

• Шаг 1: Находим производную функции.

\[y' = -\frac{4}{x^2} + 1\]

• Шаг 2: Находим критические точки, приравняв производную к нулю.

\[-\frac{4}{x^2} + 1 = 0\] \[1 = \frac{4}{x^2}\] \[x^2 = 4\] \[x = \pm 2\]

• Шаг 3: Определяем знаки производной на промежутках.

При x < -2, например, x = -3: y'(-3) = \(-\frac{4}{(-3)^2} + 1 = -\frac{4}{9} + 1 = \frac{5}{9}\) > 0, функция возрастает.

При -2 < x < 0, например, x = -1: y'(-1) = \(-\frac{4}{(-1)^2} + 1 = -4 + 1 = -3\) < 0, функция убывает.

При 0 < x < 2, например, x = 1: y'(1) = \(-\frac{4}{1^2} + 1 = -4 + 1 = -3\) < 0, функция убывает.

При x > 2, например, x = 3: y'(3) = \(-\frac{4}{3^2} + 1 = -\frac{4}{9} + 1 = \frac{5}{9}\) > 0, функция возрастает.

Ответ: x = -2 - точка максимума, x = 2 - точка минимума.