1 вариант 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: a) y = 7-2x 6) y = 3x²-4x+7 в) у = 2x³ + 6x2-1 r) y= x+2 x²

a) y = 7 - 2x

• Шаг 1: Находим производную функции.

\[y' = -2\]

• Шаг 2: Определяем знаки производной.

Так как y' = -2 < 0 для всех x, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Функция убывает на (-\infty; +\infty). Функция не возрастает.

б) y = 3x² - 4x + 7

• Шаг 1: Находим производную функции.

\[y' = 6x - 4\]

• Шаг 2: Находим критические точки, приравняв производную к нулю.

\[6x - 4 = 0\] \[6x = 4\] \[x = \frac{2}{3}\]

• Шаг 3: Определяем знаки производной на промежутках.

При x < \(\frac{2}{3}\), например, x = 0: y'(0) = 6(0) - 4 = -4 < 0, функция убывает.

При x > \(\frac{2}{3}\), например, x = 1: y'(1) = 6(1) - 4 = 2 > 0, функция возрастает.

Ответ: Функция убывает на (-\infty; \(\frac{2}{3}\)), возрастает на (\(\frac{2}{3}\); +\infty).

в) y = 2x³ + 6x² - 1

• Шаг 1: Находим производную функции.

\[y' = 6x² + 12x\]

• Шаг 2: Находим критические точки, приравняв производную к нулю.

\[6x² + 12x = 0\] \[6x(x + 2) = 0\] \[x = 0, x = -2\]

• Шаг 3: Определяем знаки производной на промежутках.

При x < -2, например, x = -3: y'(-3) = 6(-3)² + 12(-3) = 54 - 36 = 18 > 0, функция возрастает.

При -2 < x < 0, например, x = -1: y'(-1) = 6(-1)² + 12(-1) = 6 - 12 = -6 < 0, функция убывает.

При x > 0, например, x = 1: y'(1) = 6(1)² + 12(1) = 6 + 12 = 18 > 0, функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на (-\infty; -2) и (0; +\infty), убывает на (-2; 0).

г) y = \(\frac{x+2}{x²}\)

• Шаг 1: Находим производную функции.

\[y' = \frac{1 \cdot x² - (x+2) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x² - 2x² - 4x}{x^4} = \frac{-x² - 4x}{x^4} = \frac{-x - 4}{x³}\]

• Шаг 2: Находим критические точки, приравняв производную к нулю.

\[\frac{-x - 4}{x³} = 0\] \[-x - 4 = 0\] \[x = -4\]

• Шаг 3: Определяем знаки производной на промежутках.

При x < -4, например, x = -5: y'(-5) = \(\frac{-(-5) - 4}{(-5)³} = \frac{1}{-125}\) < 0, функция убывает.

При -4 < x < 0, например, x = -1: y'(-1) = \(\frac{-(-1) - 4}{(-1)³} = \frac{-3}{-1}\) > 0, функция возрастает.

При x > 0, например, x = 1: y'(1) = \(\frac{-1 - 4}{1³} = -5\) < 0, функция убывает.

Ответ: Функция убывает на (-\infty; -4) и (0; +\infty), возрастает на (-4; 0).